\subsection{独立重复试验}\label{subsec:3-5}

某射手射击一次，击中目标的概率是 $0.9$，他射击 $4$ 次恰好击中 $3$ 次的概率是多少？

分别记在第 $1,\, 2,\, 3,\, 4$ 次射击中，这个射手击中目标为事件 $A_1,\, A_2,\, A_3,\, A_4$，
未击中目标为事件 $\buji{A_1},\, \buji{A_2},\, \buji{A_3},\, \buji{A_4}$。
那么，射击次 $4$ 次、击中 $3$ 次共有下面 $4$ 种情况：
$$ A_1A_2A_3\buji{A_4},\quad  A_1A_2\buji{A_3}A_4,\quad  A_1\buji{A_2}A_3A_4,\quad \buji{A_1}A_2A_3A_4 \text{。} $$

上述每一种情况，都可看成是在 $4$ 个位置上取出 $3$ 个写上 $A$，另一个写上 $\buji{A}$，
所以这些情况的种数等于从 $4$ 个元素中取出 $3$ 个的组合数 $C_4^3$，即 $4$ 种。

由于各次射击是否击中相互之间没有影响，根据公式 \eqref{eq:du-li-ex}，前 $3$ 次击中、第 $4$ 次未击中的概率
\begin{align*}
    P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3 \cdot \buji{A_4}) &= P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3) \cdot P(\buji{A_4}) \\
        &= 0.9 \times 0.9 \times 0.9 \times (1 - 0.9) \\
        &= 0.9^3 \times (1 - 0.9)^{4-3}
\end{align*}

同理，
\begin{align*}
    P(A_1 \cdot A_2 \cdot \buji{A_3} \cdot A_4) &= P(A_1 \cdot \buji{A_2} \cdot A_3 \cdot A_4) \\
        &= P(\buji{A_1} \cdot A_2 \cdot A_3 \cdot A_4) \\
        &= 0.9^3 \times (1 - 0.9)^{4-3}
\end{align*}

这就是说，在上面射击 $4$ 次、击中 $3$ 次的 $4$ 种情况中，
每一种发生的概率都是 $0.9^3 \times (1 - 0.9)^{4-3}$。
因为这 $4$ 种情况彼此互斥，根据公式 \eqref{eq:hu-chi-ex}，射击 $4$ 次、击中 $3$ 次的概率
\begin{align*}
    P &= P(A_1 \cdot A_2 \cdot A_3 \cdot \buji{A_4})
        + P(A_1 \cdot A_2 \cdot \buji{A_3} \cdot A_4)
        + P(A_1 \cdot \buji{A_2} \cdot A_3 \cdot A_4)
        + P(\buji{A_1} \cdot A_2 \cdot A_3 \cdot A_4) \\
      &= C_4^3 \times 0.9^3 \times (1 - 0.9)^{4-3} \\
      &= 4 \times 0.9^3 \times 0.1 \approx 0.29 \text{。}
\end{align*}

在上面的例子中，$4$ 次射击可以看成是进行 $4$ 次独立重复试验。

一般地，\textbf{如果在一次试验中某事件发生的概率是 $P$，那么 $n$ 次独立重复试验中
这个事件恰好发生 $k$ 次的概率}
\begin{align}
    \boxed{P_n(k) = C_n^k P^k (1 - P)^{n-k} \text{。}} \tag{4} \label{eq:du-li-chong-fu}
\end{align}


\textbf{例} 某气象站天气预报的准确率为 $80\%$ ，计算（结果保留两个有效数字）：

(1) $5$ 次预报中恰有 $4$ 次准确的概率；

(2) $5$ 次预报中至少有 $4$ 次准确的概率。

\jie (1) 记 “预报一次，结果准确” 为事件 $A$。预报 $5$ 次相当于作 $5$ 次独立重复试验，
根据公式 \eqref{eq:du-li-chong-fu}， $5$ 次预报中恰有 $4$ 次准确的概率
\begin{align*}
    P_5(4) &= C_5^4 \times 0.8^4 \times (1 - 0.8)^{5-4} \\
            &= 5 \times 0.8^4 \times 0.2 \approx 0.41 \text{。}
\end{align*}

答：$5$ 次预报中恰有 $4$ 次准确的概率约为 $0.41$。

(2) $5$ 次预报中至少有 $4$ 次准确的概率，就是 $5$ 次预报中恰有 $4$ 次准确的概率
与 $5$ 次预报都准确的概率的和，即
\begin{align*}
    P &= P_5(4) + P_5(5) \\
        &= C_5^4 \times 0.8^4 \times (1 - 0.8)^{5-4} + C_5^5 \times 0.8^5 \times (1 - 0.8)^{5-5} \\
        &= 5 \times 0.8^4 \times 0.2 + 0.8^5 \\
        &\approx 0.410 + 0.328 \\
        &\approx 0.74 \text{。}
\end{align*}

答：$5$ 次预报中至少有 $4$ 次准确的概率约为 $0.74$。


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{生产一种零件，出现次品的概率是 $0.04$。生产这种零件 $4$ 件，其中恰有 $1$ 件次品，
    恰有 $2$ 件次品，至多有 $1$ 件次品的概率各是多少？
}

\xiaoti{在本节开始关于射手 $4$ 次射击的问题中，分别写出射手恰好击中 $4$ 次，$3$ 次，$2$ 次，
    $1$ 次，$0$ 次的概率的计算式子，并将它们与 $(0.9 + 0.1)^4$ 的展开式的各项进行比较。
}

\end{xiaotis}


